$ \gdef\d{\mathrm{d}} $
重积分
定义
定义有界闭集 $D \subseteq \R^n$ 以及 $f: D \to \R$，则
$$ I = \int_D f(x) \d \mu(x) $$为 $f$ 在 $D$ 上的重积分，其中 $\d\mu(x)$ 为 $x$ 处的 $n$ 维无穷小体积。
对于矩形区域 $R \subseteq \R^n$，可以将 $R$ 划分为若干个小矩形 $R_1, R_2, \cdots, R_m$，并类似一元的情况定义 Riemann 和与 Darboux 上下和。该划分满足
$$ \max_{1 \le k \le m} \sup_{x, y \in R_k} \|x - y\| \to 0. $$同样有下面三个等价条件：
- (Riemann) $f$ 在 $R$ 上 Riemann 可积。
- (Darboux) $f$ 在 $R$ 上的 Darboux 上积分等于下积分。
- (Lebesgue) $f$ 在 $R$ 上有界且间断点集的测度为零。
对于任意形状的有界闭集 $D$，其中边界 $\partial D$ 的测度为零，则可以取矩形区域 $R$ 满足 $D \subseteq R$，并定义
$$ f_R = \begin{cases} f(x) & \text{if } x \in D, \\ 0 & \text{otherwise}. \end{cases} \quad \forall x \in R. $$则 $f_R$ 在 $R$ 上 Riemann 可积，且
$$ \int_D f(x) \d \mu(x) = \int_R f_R(x) \d \mu(x). $$性质
记 $\mathcal{R}(D)$ 为 $D$ 上 Riemann 可积的函数全体，$\mathcal{C}(D)$ 为 $D$ 上连续的函数全体，则
线性性：$\forall f, g \in \mathcal{R}(D), \forall \alpha, \beta \in \R$，有
$$ \alpha f + \beta g \in \mathcal{R}(D). $$保序性：$\forall f, g \in \mathcal{R}(D), f \le g$，则
$$ \int_D f(x) \d \mu(x) \le \int_D g(x) \d \mu(x). $$积分不等式：$\forall f \in \mathcal{R}(D)$，有
$$ \left| \int_D f(x) \d \mu(x) \right| \le \int_D |f(x)| \d \mu(x). $$积分中值定理：若 $D$ 路径连通，$f \in \mathcal{C}(D)$，$g \in \mathcal{R}(D)$ 且 $g \ge 0$，则 $\exists \xi \in D$，使得
$$ \int_D f(x) g(x) \d \mu(x) = f(\xi) \int_D g(x) \d \mu(x). $$Cauchy-Schwarz 不等式：$\forall f, g \in \mathcal{R}(D)$，有
$$ \left( \int_D f(x) g(x) \d \mu(x) \right)^2 \le \int_D f(x)^2 \d \mu(x) \int_D g(x)^2 \d \mu(x). $$
计算
累次积分
对于 Jordan 可测的区域 $D$，可以将重积分转化为累次积分，即
$$ \int_D f(x) \d \mu(x) = \int_D f(x) \d x_1 \cdots \d x_n. $$例如，对于二维 $D = \{(x, y) \mid y_1(x) \le y \le y_2(x), a \le x \le b\}$，有
$$ \int_D f(x, y) \d \mu(x, y) = \int_a^b \d x \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x, y) \d y. $$二重积分的变量代换
对于定积分 $\int_a^b f(x) \d x$，作变量代换 $x = \varphi(t)$，则被积函数 $f(x)$ 变为 $f(\varphi(t))$，$\d x$ 变为 $\varphi'(t) \d t$，积分上下限也变为对应的 $t$ 的值。
对于二重积分 $\iint_D f(x, y) \d x \d y$ 作变量代换
$$ \begin{cases} x = x(u, v), \\ y = y(u, v), \end{cases} $$其中 $\frac{D(x, y)}{D(u, v)} \neq 0$，被积函数 $f(x, y)$ 变为 $f(x(u, v), y(u, v))$，积分区域 $D$ 变为 $O$-$uv$ 平面上的区域 $D_{uv}$。
对于定积分而言，变量代换 $x = \varphi(t)$ 需要保证在积分区间 $[a, b]$ 上 $\varphi(t)$ 单调且连续可微，这本质上是要求 $\varphi(t)$ 可逆。对于二重积分，则要求上述变换是 $\R^2$ 的某个子集到 $\R^2$ 的一个连续可微的可逆向量值函数。换句话说，尽管 $\frac{D(x, y)}{D(u, v)}$ 实际上可以在测度为零的集合上为零，但连续可微和测度为零的条件并不充分，仍需要确保是双射。
同样地，面积元素 $\d x \d y$ 需要变为 $\left| \frac{D(x, y)}{D(u, v)} \right| \d u \d v$。与定积分有所不同的是 Jacobi 行列式的绝对值符号，因为在重积分中并不存在定积分中形如 $\int_a^b = -\int_b^a$ 的方向性。即
$$ \iint_D f(x, y) \d x \d y = \iint_{D_{uv}} f(x(u, v), y(u, v)) \left| \frac{D(x, y)}{D(u, v)} \right| \d u \d v. $$二重积分的极坐标变换
对于二重积分 $\iint_D f(x, y) \d x \d y$，作极坐标变换 $x = r \cos \theta, y = r \sin \theta$，则
$$ \frac{D(x, y)}{D(r, \theta)} = \begin{vmatrix} \cos \theta & -r \sin \theta \\ \sin \theta & r \cos \theta \end{vmatrix} = r, $$被积函数 $f(x, y)$ 变为 $f(r \cos \theta, r \sin \theta)$，$\d x \d y$ 变为 $r \d r \d \theta$，积分区域 $D$ 变为 $O$-$r\theta$ 平面上的区域 $D_{r\theta}$，
$$ \iint_D f(x, y) \d x \d y = \iint_{D_{r\theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \d r \d \theta. $$三重积分的柱坐标变换
三重积分的变量代换与二重积分并没有本质不同。对 $(x, y, z)$ 作柱坐标系变换
$$ \begin{cases} x = r \cos \theta, \\ y = r \sin \theta, \\ z = z, \end{cases} $$其中 $0 \le r < +\infty, 0 \le \theta < 2\pi, z \in \R$，则
$$ \iiint_D f(x, y, z) \d x \d y \d z = \iiint_{D_{r\theta z}} f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) r \d r \d \theta \d z. $$对于常见的曲面，在柱坐标系下有
| 名称 | 直角坐标系下方程 | 柱坐标系下方程 | 变量范围 |
|---|---|---|---|
| 圆柱面 | $x^2 + y^2 = R^2$ | $r = R$ | $0 \le \theta < 2\pi, z \in \R$ |
| 圆柱面 | $x^2 + y^2 = 2Rx$ | $r = 2R \cos \theta$ | $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}, z \in \R$ |
| 圆柱面 | $x^2 + y^2 = 2Ry$ | $r = 2R \sin \theta$ | $0 \le \theta \le \pi, z \in \R$ |
| 球面 | $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ | $r = \sqrt{R^2 - z^2}$ | $0 \le \theta < 2\pi, -R \le z \le R$ |
| 圆锥面 | $a^2 z^2 = x^2 + y^2 (a > 0)$ | $r = a \lvert z \rvert$ | $0 \le \theta < 2\pi, z \in R$ |
| 平面 | $z = a$ | $z = a$ | $0 \le \theta < 2\pi, r \ge 0$ |
三重积分的球坐标变换
对于三重积分 $\iiint_D f(x, y, z) \d x \d y \d z$，作球坐标系变换
$$ \begin{cases} x = r \sin \theta \cos \varphi, \\ y = r \sin \theta \sin \varphi, \\ z = r \cos \theta, \end{cases} $$其中 $0 \le r < +\infty, 0 \le \theta < \pi, 0 \le \varphi < 2\pi$，则
$$ \iiint_D f(x, y, z) \d x \d y \d z = \iiint_{D_{r\theta\varphi}} f(r \sin \theta \cos \varphi, r \sin \theta \sin \varphi, r \cos \theta) r^2 \sin \theta \d r \d \theta \d \varphi. $$对于常见的曲面，在球坐标系下有
| 名称 | 直角坐标系下方程 | 球坐标系下方程 | 变量范围 |
|---|---|---|---|
| 球面 | $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ | $r = R$ | $0 \le \theta \le \pi, 0 \le \varphi < 2\pi$ |
| 球面 | $x^2 + y^2 + z^2 = 2Rz$ | $r = 2R \cos \theta$ | $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}, 0 \le \varphi < 2\pi$ |
| 圆锥面 | $a^2 z^2 = x^2 + y^2 (a > 0)$ | $\tan^2\theta = a^2$ | $r \ge 0, 0 \le \varphi < 2\pi$ |
| 平面 | $z = a$ | $r = \frac{a}{\cos \theta}$ | $0 \le \theta \le \pi, 0 \le \varphi < 2\pi$ |
应用
曲线积分与曲面积分
第一类曲线积分
已知曲线 $L$ 上每个点的密度 $f(\mathbf x)$，求曲线的质量。
对于参数化曲线，如果曲线正则（即 $\mathbf x'(t) \neq \mathbf 0$），则弧长 $\d l = \|\mathbf x'(t)\| \d t$，则
$$ \int_L f(\mathbf x) \d l = \int_a^b f(\mathbf x(t)) \|\mathbf x'(t)\| \d t. $$容易理解为对每个参数 $t$ 的微小改变量 $\d t$ 计算对应的长度元 $\d l$。
特别地，对于曲线 $L: y = y(x), x \in [a, b]$，有
$$ \int_L f(\mathbf x) \d l = \int_a^b f(x, y(x)) \sqrt{1 + y'(x)^2} \d x. $$考虑正则换元 $t = t(s)$，设 $\alpha, \beta$ 为新参数的积分限，则
$$ \int_L f(\mathbf x) \d l = \int_\alpha^\beta f(\mathbf x(t(s))) \|\mathbf x'(t(s))\| |t'(s)| \d s. $$该换元要求 $t'(s)$ 处处非零，即 $t(s)$ 是严格单调的。且这里的积分是无向积分（$t'(s)$ 在范数符号之内会取绝对 值）。
第一类曲面积分
已知曲面 $S$ 上每个点的密度 $f(\mathbf x)$，求曲面的质量。
对于参数化曲面，如果曲面正则（即 $\mathbf x_u \times \mathbf x_v \neq \mathbf 0$），则面积元素 $\d S = \|\mathbf x_u \times \mathbf x_v\| \d u \d v$，则
$$ \iint_S f(\mathbf x) \d S = \iint_D f(\mathbf x(u, v)) \|\mathbf x_u \times \mathbf x_v\| \d u \d v. $$也容易理解为对每个参数 $u, v$ 的微小改变量 $\d u, \d v$，使用叉乘计算对应的面积元 $\d S$。
特别地，对于曲面 $S: z = z(x, y), (x, y) \in D$，有
$$ \iint_S f(\mathbf x) \d S = \iint_D f(x, y, z(x, y)) \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} \d x \d y. $$第二类曲线积分
已知曲线 $L$ 上每个点处的力场 $\mathbf F(\mathbf x)$，求沿着曲线从起点到终点的做功。
对于 $\R^2$ 上的参数化正则曲线 $L: \mathbf x(t) = (x(t), y(t)), t \in [a, b]$，记 $\d \mathbf l = (\d x, \d y)$，则
$$ \begin{aligned} \int_{L(A)}^{(B)} \mathbf F \cdot \d \mathbf l &= \int_{L(A)}^{(B)} X(x, y) \d x + Y(x, y) \d y \\ &= \int_a^b [X(x(t), y(t)) x'(t) + Y(x(t), y(t)) y'(t)] \d t. \end{aligned} $$对于 $\R^3$ 上的正则曲线同理。
与第一类曲线积分不同，第二类曲线积分需要考虑方向，有
$$ \int_{L(A)}^{(B)} \mathbf F \cdot \d \mathbf l = -\int_{L(B)}^{(A)} \mathbf F \cdot \d \mathbf l. $$第二类曲面积分
已知曲面 $S$ 上每个点处的流速场 $\mathbf V(\mathbf x)$，求流体通过曲面的流量。
对于 $\R^3$ 上由 $\mathbf x(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))$ 参数化的正则曲面 $S$，有
$$ \begin{aligned} \iint_{S^+} \mathbf V \cdot \d \mathbf S &= \iint_D \mathbf V \cdot \mathbf n^{\circ} \d S \\ &= \iint_D \mathbf V \cdot (\mathbf x_u \times \mathbf x_v) \d u \d v, \end{aligned} $$其中 $\mathbf n^{\circ}$ 是曲面的单位化法向量。特别地，若 $S$ 由 $z = z(x, y)$ 给出，则
$$ \iint_{S^+} \mathbf V \cdot \d \mathbf S = \iint_D \mathbf V \cdot \left(-\mathbf i \frac{\partial z}{\partial x} - \mathbf j \frac{\partial z}{\partial y} + \mathbf k\right) \d x \d y. $$注意这里的面积元 $\d x \d y$ 是在 $xy$ 平面上的（因为是以 $u = x, v = y$ 参数化的）。
更一般地，对于 $\R^3$ 上的正则曲面 $S$，有
$$ \iint_{S^+} \mathbf V \cdot \d \mathbf S = \iint_D X(x, y, z) \d y \land \d z + Y(x, y, z) \d z \land \d x + Z(x, y, z) \d x \land \d y, $$其中 $\d x \land \d y$ 表示 $x$ 和 $y$ 的微小改变量构成的平行四边形的有向面积元。即对于 $\d x \d y$ 我们只关心大小，而 $\d x \land \d y$ 则也关心方向，可以将其理解为向量叉乘。
Green 公式
给定平面向量场 $\mathbf V(x, y) = (X(x, y), Y(x, y))$，若 $X, Y$ 在闭区域 $D$ 上连续可微，则
$$ \iint_D \left(\frac{\partial X}{\partial x} + \frac{\partial Y}{\partial y} \right) \d x \d y = \oint_{\partial D} \mathbf V \cdot \mathbf n^{\circ} \d l. $$其中 $D$ 的边界 $\partial D$ 为逐段光滑的闭曲线，且以逆时针为正方向，$\mathbf n^{\circ}$ 为 $\partial D$ 的单位化外法向量。
本质上是因为将 $D$ 划分为若干个小矩形区域后，两个小区域之间的边界会相互抵消。而对于足够小的矩形 $D$，可以认为上式左右相等。
Green 公式还有以下几种等价的形式：
$$ \iint_D \left(\frac{\partial X}{\partial x} + \frac{\partial Y}{\partial y} \right) \d x \d y = \oint_{\partial D} X \d y - Y \d x, $$$$ \iint_D \left(\frac{\partial Y}{\partial x} - \frac{\partial X}{\partial y} \right) \d x \d y = \oint_{\partial D} X \d x + Y \d y, $$$$ \iint_D \left(\frac{\partial Y}{\partial x} - \frac{\partial X}{\partial y} \right) \d x \d y = \oint_{\partial D} \mathbf V \cdot \d \mathbf l. $$我们称
$$ \mathrm{div} \mathbf V = \frac{\partial X}{\partial x} + \frac{\partial Y}{\partial y}, \quad \mathrm{rot} \mathbf V = \frac{\partial Y}{\partial x} - \frac{\partial X}{\partial y}, $$为向量场 $\mathbf V$ 的散度和旋度。
由 Green 公式，平面区域 $D$ 的面积可以表示为
$$ \iint_D 1 \d x \d y = \frac{1}{2} \oint_{\partial D} x \d y - y \d x. $$Gauss 公式
为 Green 公式的散度形式在三维空间的推广。
对于三维空间中的向量场 $\mathbf V(x, y, z) = (X(x, y, z), Y(x, y, z), Z(x, y, z))$，定义其散度为
$$ \mathrm{div} \mathbf V = \frac{\partial X}{\partial x} + \frac{\partial Y}{\partial y} + \frac{\partial Z}{\partial z}, $$设 $\Omega$ 为空间中的有界闭区域，其边界为分片光滑的封闭曲面，取外法线方向为正向，有
$$ \iiint_{\Omega} \mathrm{div} \mathbf V \d x \d y \d z = \oiint_{\partial \Omega} \mathbf V \cdot \d \mathbf S. $$Stokes 公式
为 Green 公式的旋度形式在三维空间的推广。
对于三维空间中的向量场 $\mathbf V(x, y, z) = (X(x, y, z), Y(x, y, z), Z(x, y, z))$，定义其旋度为
$$ \begin{aligned} \mathrm{rot} \mathbf V &= \left(\frac{\partial Z}{\partial y} - \frac{\partial Y}{\partial z}, \frac{\partial X}{\partial z} - \frac{\partial Z}{\partial x}, \frac{\partial Y}{\partial x} - \frac{\partial X}{\partial y}\right) \\ &= \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ X & Y & Z \end{vmatrix}, \end{aligned} $$设 $S$ 为 $\R^3$ 中分片光滑的有界曲面，其边界 $\partial S$ 为分片光滑的闭曲线，且 $\partial S$ 的正向与 $S$ 的法向量方向符合右手法则，有
$$ \iint_{S} \mathrm{rot} \mathbf V \cdot \d \mathbf S = \oint_{\partial S} \mathbf V \cdot \d \mathbf l. $$路径无关积分
设 $\mathbf F(x, y) = (X(x, y), Y(x, y))$ 在单连通区域 $D \subseteq \R^2$ 上连续可微，则下列命题等价：
- $\mathrm{rot} \mathbf F = 0, \forall (x, y) \in D$。
- 对于 $D$ 内的任意闭曲线 $L$，有 $\int_L \mathbf F \cdot \d \mathbf l = 0$。
- $\int_{L(A)}^{(B)} \mathbf F \cdot \d \mathbf l$ 在域 $D$ 内与路径无关，其中 $A, B$ 为 $D$ 内的任意两点。
- $\mathbf F$ 是某个函数 $u(x, y)$ 的梯度，即 $\mathbf F = \nabla u$。
对于 $\R^3$ 上的连续可微向量场 $\mathbf V(x, y, z) = (X(x, y, z), Y(x, y, z), Z(x, y, z))$，若其定义域为单连通区域 $D$，有类似的结论，即下列命题等价：
- $\mathrm{rot} \mathbf V = 0, \forall (x, y, z) \in D$。
- 对于 $D$ 内的任意闭曲线 $L$，有 $\int_L \mathbf V \cdot \d \mathbf l = 0$。
- $\int_{L(A)}^{(B)} \mathbf V \cdot \d \mathbf l$ 在域 $D$ 内与路径无关，其中 $A, B$ 为 $D$ 内的任意两点。
- $\mathbf V$ 是某个函数 $u(x, y, z)$ 的梯度，即 $\mathbf V = \nabla u$。
全微分方程和积分因子法
满足
$$ M(x, y) \d x + N(x, y) \d y = 0 $$的方程称为全微分方程。
若存在函数 $u(x, y)$ 使得 $M = \frac{\partial u}{\partial x}, N = \frac{\partial u}{\partial y}$，则称该方程为全微分方程（或恰当方程），$u(x, y)$ 是其势函数。
全微分方程的解为 $u(x, y) = C$，其中 $C$ 为常数。该方程为全微分方程的必要条件为 $\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial M}{\partial y}$。在单连通区域上，该条件也是充分的。
要求出 $u(x, y)$，可以对 $M$ 和 $N$ 分别做积分，然后对比系数。
若 $\frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}$，则方程不满足恰当条件，但有时可以通过乘以一个积分因子 $\mu(x, y)$ 使得 $\mu M \d x + \mu N \d y = 0$ 为全微分方程。
对于两种特殊情况：
- 若 $\frac{1}{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}\right)$ 仅是 $x$ 的函数（记作 $g(x)$），则积分因子为 $\mu(x) = e^{\int g(x) \d x}$。
- 若 $\frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}\right)$ 仅是 $y$ 的函数（记作 $h(y)$），则积分因子为 $\mu(y) = e^{\int h(y) \d y}$。
级数
定义
数列无穷求和称为级数。前 $n$ 项和被称作部分和。
$$ \sum_{n = 1}^\infty u_n = u_1 + u_2 + \cdots + u_n + \cdots, \quad S_n = \sum_{k = 1}^n u_k. $$收敛级数是部分和收敛的级数，称部分和的极限为级数的和。不收敛的级数是发散级数，其没有级数和。
若 $\lim\limits_{n \to \infty} S_n = S$，则称级数收敛于 $S$，记作 $\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n = S$。
级数收敛的必要条件是 $\lim\limits_{n \to \infty} u_n = 0$。
Cauchy 收敛准则：级数 $\sum\limits_{n =1}^\infty u_n$ 收敛的充要条件是：对于任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N \in \N$，使得当 $m > n > N$ 时，有
$$ \left| \sum_{k = n + 1}^m u_k \right| < \varepsilon. $$收敛的级数线性运算后仍收敛。收敛的级数改变有限项后仍收敛。常数项级数的许多性质可以类比广义积分。
非负项级数
非负项级数是各项都为非负数的级数。
判别法
设 $\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n$ 和 $\sum\limits_{n = 1}^\infty v_n$ 为两个非负项级数，则：
- 比较判别法：设 $u_n \leq v_n$，则
- 若 $\sum\limits_{n = 1}^\infty v_n$ 收敛，则 $\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n$ 也收敛；
- 若 $\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n$ 发散，则 $\sum\limits_{n = 1}^\infty v_n$ 也发散。
- 比较判别法（极限）：设 $v_n > 0$，则
- 若 $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = L$，且 $0 < L < +\infty$，则 $\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n$ 和 $\sum\limits_{n = 1}^\infty v_n$ 同敛散；
- 若 $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = 0$，且 $\sum\limits_{n = 1}^\infty v_n$ 收敛，则 $\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n$ 收敛；
- 若 $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = +\infty$，且 $\sum\limits_{n = 1}^\infty v_n$ 发散，则 $\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n$ 发散。
- Cauchy 积分判别法：设 $f \in \mathcal C[1, +\infty)$ 且非负递减，$u_n = f(n) \ (n \in \N^+)$，则
- $\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n$ 收敛当且仅当 $\int_1^{+\infty} f(x) \d x$ 收敛。
- 比率判别法：设 $u_n > 0$，则
- 若 $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{u_{n + 1}}{u_n} < 1$，则 $\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n$ 收敛；
- 若 $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{u_{n + 1}}{u_n} > 1$，则 $\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n$ 发散；
- 若 $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{u_{n + 1}}{u_n} = 1$，则判别法失效。
- 根值判别法：
- 若 $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} < 1$，则 $\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n$ 收敛；
- 若 $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} > 1$，则 $\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n$ 发散；
- 若 $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} = 1$，则判别法失效。
- Raabe 判别法：设 $u_n > 0$ 且 $\lim\limits_{n \to \infty} n\left(\frac{u_n}{u_{n + 1}} - 1\right) = L$，则
- 若 $L > 1$，则 $\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n$ 收敛；
- 若 $L < 1$，则 $\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n$ 发散；
- 若 $L = 1$，则判别法失效。
任意项级数
对于通项符号任意的级数，我们关心其收敛性。
- 绝对收敛：级数 $\sum\limits_{n = 1}^\infty |u_n|$ 收敛，则称原级数 $\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n$ 绝对收敛。
- 条件收敛：级数 $\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n$ 收敛，但 $\sum\limits_{n = 1}^\infty |u_n|$ 发散，则称原级数条件收敛。
一个重要的性质是：绝对收敛的级数一定收敛。
判别法
Leibniz 判别法：对于交错级数 $\sum\limits_{n = 1}^\infty (-1)^{n-1} u_n$，若满足
- $u_n \ge 0$；
- 数列 $\{u_n\}$ 单调递减，即 $u_{n+1} \le u_n$；
- $\lim\limits_{n \to \infty} u_n = 0$。
则该交错级数收敛，且其和 $S$ 满足 $0 \le S \le u_1$，其截断误差 $R_n = S - S_n$ 满足 $|R_n| \le u_{n + 1}$。
Abel 判别法：若级数 $\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n$ 收敛，数列 $\{v_n\}$ 单调有界，则级数 $\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n v_n$ 收敛。
Dirichlet 判别法：若级数 $\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n$ 的部分和序列有界，数列 $\{v_n\}$ 单调递减且 $\lim\limits_{n \to \infty} v_n = 0$，则级数 $\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n v_n$ 收敛。
Leibniz 判别法是 Dirichlet 判别法的一个特例。
感性理解：
- Abel 判别法：想象一个已经收敛的级数 $\sum u_n$（比如一个朝着目标稳定前进的序列）。现在你用一个只会平稳地增加或减少，并且始终保持在一定范围内的"调节因子" $\{v_n\}$ 去乘以它。这个因子不会让原本收敛的步伐变得混乱或无限大，因此最终的结果仍然是收敛的。
- Dirichlet 判别法：就像一个酒鬼，其每一步 $u_n$ 让他走的总位移 $\sum u_n$ 虽然总是在一个固定区域内晃来晃去（部分和有界），但他被一根越来越紧、最终会把他拉到原点的绳索 $\{v_n\}$ 套住了。尽管他本身不稳，但绳索的持续拉紧和最终消失，会把他限制在一个定点，使得他的总位移（级数和）收敛。
级数的交换律和结合律
设 $\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n$ 为收敛级数，则在不改变次序的情况下将无穷和任意合并成新的级数
$$ (u_1 + \cdots + u_{k_1}) + (u_{k_1 + 1} + \cdots + u_{k_2}) + \cdots + (u_{k_{n-1} + 1} + \cdots + u_{k_n}) + \cdots $$仍收敛于原级数的和。
如果上述级数收敛，且每个括号中的项拥有相同的正负号，则与原级数收敛于相同的和。
绝对收敛的级数可以交换顺序。
无穷乘积
无穷乘积 $\prod\limits_{n = 1}^\infty (1 + a_n)$ 收敛的充要条件是：级数 $\sum\limits_{n = m}^\infty \ln(1 + a_n)$ 收敛，其中 $m$ 为充分大的正整数使得当 $n \ge m$ 时 $1 + a_n > 0$。
若无穷乘积 $\prod\limits_{n = 1}^\infty p_n$ 收敛，则 $\lim\limits_{n \to \infty} p_n = 1$。
函数项级数
$$ \sum_{n = 1}^\infty u_n(x), \quad S_n(x) = \sum_{k = 1}^n u_k(x). $$类似广义积分到广义含参积分，引入「一致收敛」的概念。用 $\varepsilon$-$N$ 语言来说，就是 $N$ 的选取只与 $\varepsilon$ 有关，与 $x$ 无关。同理定义「一致有界」、「一致趋于零」。
判别法
换序充分条件
幂级数
幂级数：
$$ \sum_{n = 0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + \cdots. $$对于任意幂级数，其收敛性只有以下三种情况：
- 级数只在 $x = 0$ 处收敛；
- 级数在所有 $x \in \R$ 处收敛；
- 存在正数 $R$，使得级数在 $|x| < R$ 时收敛，在 $|x| > R$ 时发散，在 $|x| = R$ 时可能收敛也可能发散。
其中 $R$ 为收敛半径，$(-R, R)$ 为收敛区间。
Cauchy-Hadamard 定理给出了收敛半径的普适公式：
$$ R = \frac{1}{\limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}, $$在常用情况下，如果下列极限存在，收敛半径也可以通过更简单的公式计算：
$$ R = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}} \quad \text{ or } \quad R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|. $$幂级数的和函数 $S(x)$ 在其收敛域 $(-R, R)$ 内是连续的。
Abel 定理：若幂级数 $\sum a_n x^n$ 的项构成的数列 $\{a_n x_0^n\}$ 在 $x_0 \neq 0$ 处有界，则级数在开区间 $(-|x_0|, |x_0|)$ 内绝对收敛。进一步地，它在任何闭区间 $[-r, r]$（其中 $r < |x_0|$）上一致收敛。
Abel 第二定理（端点连续性）：若幂级数 $\sum a_n x^n$ 在其收敛区间的右端点 $x=R$ 处收敛，则其和函数 $S(x)$ 在 $x=R$ 处是左连续的，即 $\lim\limits_{x \to R^-} S(x) = S(R)$。进一步地，级数在整个区间 $[0, R]$ 上一致收敛。同理，若级数在左端点 $x=-R$ 处收敛，则 $S(x)$ 在 $x=-R$ 处右连续，且级数在 $[-R, 0]$ 上一致收敛。
设幂函数 $\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n$ 的收敛半径为 $R$，则其和函数 $S(x)$ 在 $(-R, R)$ 内（任意阶）可导，且
$$ S'(x) = \sum_{n = 1}^\infty n a_n x^{n - 1} = \sum_{n = 0}^\infty (n + 1) a_{n + 1} x^n, $$且收敛半径不变。
设幂函数 $\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n$ 的收敛半径为 $R$，则其和函数 $S(x)$ 在 $(-R, R)$ 内可积，且
$$ \int_0^x S(t) \d t = \sum_{n = 0}^\infty \frac{a_n}{n + 1} x^{n + 1}, $$且收敛半径不变。
Taylor 级数
若存在 $M > 0$ 使得 $\forall x \in (x_0 - R, x_0 + R)$，对于所有充分大的 $n$ 有
$$ |f^{(n)}(x)| \le M, $$则 $\lim\limits_{n \to \infty} R_n(x) = 0$，即 $f(x)$ 能在 $(x_0 - R, x_0 + R)$ 内展开为 Taylor 级数
$$ f(x) = \sum_{n = 0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n. $$Fourier 级数
设 $f \in \mathcal R[-\pi, \pi]$，称
$$ \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx) $$为 $f(x)$ 的 Fourier 级数，记作
$$ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx), $$其中
$$ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos nx \d x, \quad b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin nx \d x. $$$2\pi$ 周期偶函数的形式 Fourier 级数
$$ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^\infty a_n \cos nx $$称为形式余弦 Fourier 级数，此时
$$ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos nx \d x = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \cos nx \d x, \quad n \in \N^+. $$$2\pi$ 周期奇函数的形式 Fourier 级数
$$ f(x) \sim \sum_{n = 1}^\infty b_n \sin nx $$称为形式正弦 Fourier 级数，此时
$$ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin nx \d x = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \sin nx \d x, \quad n \in \N^+. $$收敛性
若 $f$ 在 $[a, b]$ 上可积或广义绝对可积，则
$$ \lim_{\lambda \to +\infty} \int_a^b f(x) \cos \lambda x \d x = \lim_{\lambda \to +\infty} \int_a^b f(x) \sin \lambda x \d x = 0. $$Parseval 等式
若 $f$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上可积或广义绝对可积，则
$$ \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f^2(x) \d x = \frac{a_0^2}{4} + \sum_{n = 1}^\infty (a_n^2 + b_n^2). $$最后修改于 2025-07-01
Git 版本: d2f4fc0